Le funzioni di produzione CES (dall'inglese Constant Elasticity of Substitution) sono una particolare classe di funzioni di produzione, caratterizzate da elasticità di sostituzione tra due suoi argomenti costante.

Questa classe di funzioni venne originariamente proposta da Kenneth Arrow, Robert Solow e altri come generalizzazione delle proprietà delle funzioni di produzione à la Cobb-Douglas.

Esiste inoltre una classe di funzioni di utilità CES, avente la medesima forma algebrica delle funzioni di produzione qui esaminate.

Formulazione e proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Forma originaria[modifica | modifica wikitesto]

La funzione di produzione Cobb-Douglas è caratterizzata da elasticità di sostituzione costante e unitaria.
In uno studio empirico dei primi anni '60, Kenneth Arrow, Robert Solow, Hollis Chenery e Bagicha Singh Minhas osservarono, tuttavia, diverse elasticità di sostituzione in diversi tipi di produzione. Si proposero quindi di trovare una forma più generale della funzione di produzione, che fosse omogenea e presentasse elasticità di sostituzione costante, ma potesse divergere da quella unitaria della Cobb-Douglas.

In particolare, esaminando 24 industrie in 19 paesi, gli autori trovarono che l'equazione:

log⁡YL=β0+β1log⁡w+εdisplaystyle log frac YL=beta _0+beta _1log w+varepsilon

dove Y è il valore aggiunto, L il lavoro in anni-uomo e w il saggio di salario monetario, presentava un buon adattamento ai dati.^[1] La stima puntuale del coefficiente β₁ (collegato all'elasticità di sostituzione) variava tra le diverse industrie, assumendo valori da 0,721 a 1,011.^[2].

Nell'articolo gli autori ricavarono quindi la prima forma della funzione CES (con due fattori produttivi e rendimenti di scala costanti) :

 Y=b[αK−ρ+(1−α)L−ρ]−1/ρdisplaystyle Y=b[alpha K^-rho +(1-alpha )L^-rho ]^-1/rho

in cui:

• b è la produttività totale dei fattori;


• ρ è un parametro collegato all'elasticità di sostituzione (σ): ρ = (1-σ)/σ;^[3]


• α determina la distribuzione del reddito tra i fattori per un dato ρ.^[4]

Forma generale[modifica | modifica wikitesto]

La forma generale di una funzione di produzione CES è:^[5]

Q(x1,x2,..,xn)=b(∑i=1nαixi−ρ)−1ρ, b>0, ρ>−1, αi≥0, xi≥0, i=1,2,…,ndisplaystyle Q(x_1,x_2,..,x_n)=bleft(sum _i=1^nalpha _ix_i^-rho right)^-frac 1rho , b>0, rho >-1, alpha _igeq 0, x_igeq 0, i=1,2,ldots ,n

con ∑i=1nαi=1displaystyle sum _i=1^nalpha _i=1, dove:

• x_i indica il livello di impiego del fattore di produzione i-esimo;


• Q indica la quantità prodotta;


• b (il parametro efficienza) è una costante moltiplicativa che dipende dal livello di efficienza nell'utilizzo dei fattori produttivi;


• α_i (il parametro distribuzione) indica l'impatto del fattore di produzione i-esimo sulla produzione totale;


• ρ (il parametro sostituzione) è collegato all'elasticità di sostituzione.^[6]

Produttività marginale[modifica | modifica wikitesto]

La produttività marginale di i è data da:

∂Q∂xi=b−ραi(Qxi)1+ρdisplaystyle frac partial Qpartial x_i=b^-rho alpha _ileft(frac Qx_iright)^1+rho

Saggio Marginale di Sostituzione Tecnica ed elasticità di sostituzione[modifica | modifica wikitesto]

Il saggio marginale di sostituzione tecnica (SMST) del fattore i con il fattore j, essendo uguale al rapporto tra le produttività marginali dei due fattori, è dato dunque da:

SMSTij=∂Q/∂xi∂Q/∂xj=αiαj(xjxi)1+ρdisplaystyle SMST_ij=frac partial Q/partial x_ipartial Q/partial x_j=frac alpha _ialpha _jleft(frac x_jx_iright)^1+rho

da cui deriva la seguente relazione:

log⁡xjxi=−11+ρlog⁡αiαj+11+ρlog⁡SMSTijdisplaystyle log frac x_jx_i=-frac 11+rho log frac alpha _ialpha _j+frac 11+rho log SMST_ij

Derivando rispetto a  log⁡SMSTijdisplaystyle log SMST_ij si ottiene l'elasticità di sostituzione:

σ=dlog⁡xjxidlog⁡SMSTij=11+ρdisplaystyle sigma =frac dlog frac x_jx_idlog SMST_ij=frac 11+rho .

Formulazione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

In base all'equazione precedente si ha:

ρ=1−σσdisplaystyle rho =frac 1-sigma sigma

Formulazione alternativa ed equivalente della funzione CES è quindi:

Q(x1,x2,..,xn)=b(∑i=1nαixiσ−1σ)σσ−1displaystyle Q(x_1,x_2,..,x_n)=bleft(sum _i=1^nalpha _ix_i^frac sigma -1sigma right)^frac sigma sigma -1

Da notare che dall'equazione precedente può dedursi che, laddove l'elasticità di sostituzione sia minore di uno (σ < 1), l'output (Q) sarà nullo ogni qualvolta anche solo uno degli input (x) sia nullo. In tal caso dunque tutti gli input sono essenziali.^[7]

Funzioni CES simmetriche e non simmetriche[modifica | modifica wikitesto]

Data la formulazione generale precedente, uguagliando SMST e costo relativo dei fattori^[8] si ha:

xj=(pipjαjαi)σxidisplaystyle x_j=left(frac p_ip_jfrac alpha _jalpha _iright)^sigma x_i

Se i parametri di distribuzione sono uguali (si ha cioè α_i = α_j per ogni i,j), la funzione di produzione CES viene detta simmetrica. In tal caso infatti, a prezzi uguali (p_i = p_j), corrisponde la stessa domanda condizionale di input (x_i = x_j).

La formulazione della funzione CES simmetrica è:

Q=b(∑i=1nxiσ−1σ)σσ−1displaystyle Q=bleft(sum _i=1^nx_i^frac sigma -1sigma right)^frac sigma sigma -1

Per contrasto, nel caso in cui i pesi distributivi non sono gli stessi ( αi≠αjdisplaystyle alpha _ineq alpha _j), la funzione viene detta non simmetrica.

Funzione di costo duale di una funzione di produzione CES[modifica | modifica wikitesto]

Data una funzione di produzione CES, la funzione di costo associata, cioè la funzione valore del problema di minimizzazione dei costi con vincolo costituito dalla funzione di produzione CES, in simboli:

C(p1,…,pn,q)=minx1,…,xn∑i=1npi xi ∣ b(∑i=1nαixiσ−1σ)σσ−1≥qdisplaystyle C(p_1,ldots ,p_n,q)=min _x_1,ldots ,x_nsum _i=1^np_i x_i mid bleft(sum _i=1^nalpha _ix_i^frac sigma -1sigma right)^frac sigma sigma -1geq q

è data da:

C(P,q)=q Pdisplaystyle C(P,q)=q P

dove:

P(p1,…,pn)=(∑i=1nαiσpi1−σ)11−σdisplaystyle P(p_1,ldots ,p_n)=left(sum _i=1^nalpha _i^sigma p_i^1-sigma right)^frac 11-sigma

è un indice del livello generale dei prezzi dei fattori associato alla tecnologia CES.

Nel caso di funzione di produzione CES simmetrica, tale indice si riduce a:

P(p1,…,pn)=(∑i=1npi1−σ)11−σdisplaystyle P(p_1,ldots ,p_n)=left(sum _i=1^np_i^1-sigma right)^frac 11-sigma

Elasticità della domanda condizionale di input[modifica | modifica wikitesto]

In base al lemma di Shephard, la domanda condizionale di un input è data dalla derivata parziale della funzione di costo rispetto al prezzo dell'input. In tal caso si ha dunque:

 xi(p1,…,pn,q)=∂C∂pi=q(αipi)σ(∑i=1nαiσpi1−σ)σ1−σ=q(αiPpi)σdisplaystyle x_i(p_1,ldots ,p_n,q)=frac partial Cpartial p_i=qleft(frac alpha _ip_iright)^sigma left(sum _i=1^nalpha _i^sigma p_i^1-sigma right)^frac sigma 1-sigma =qleft(frac alpha _iPp_iright)^sigma

L'elasticità della domanda condizionale di input sarà pari a:

 ϵ=−∂log⁡xi∂log⁡pi=σ(1−(αipi)σpi∑i=1nαiσpi1−σ)=σ(1−(αiPpi)σpiP)=σ(1−pixiqP)displaystyle epsilon =-frac partial log x_ipartial log p_i=sigma left(1-left(frac alpha _ip_iright)^sigma frac p_isum _i=1^nalpha _i^sigma p_i^1-sigma right)=sigma left(1-left(frac alpha _iPp_iright)^sigma frac p_iPright)=sigma left(1-frac p_ix_iqPright)

dove l'ultimo termine in parentesi non è altro che la quota dei costi affrontati per l'input i-esimo sul totale dei costi di produzione. Poiché tale quota tende a zero al crescere del numero degli input, nel caso in cui si abbiano molti input si avrà:

 ϵ=σ(1−pixiC)⋍σdisplaystyle epsilon =sigma left(1-frac p_ix_iCright)backsimeq sigma

Questo accade perché l'impatto dell'aumento di prezzo del bene i-esimo sul livello generale dei prezzi degli input, data l'elasticità di sostituzione costante, diminuisce al crescere del numero di input.

Nel caso di funzioni di produzione CES (e delle Cobb-Douglas, che possono essere considerate una sottoclasse delle prime) σ rappresenta quindi sia l'elasticità di sostituzione, sia, quando il numero di input è sufficientemente grande, l'elasticità della domanda condizionale di input.

Figura 1: Funzione CES a due fattori con elasticità di sostituzione uguale a 2

Figura 2: Funzione CES a due fattori con elasticità di sostituzione uguale a 0.67

Esempi di funzione CES[modifica | modifica wikitesto]

A titolo esemplificativo si riportano i grafici di due funzioni CES a due fattori.

Le funzioni sono del tipo:

Q=b(αL−ρ+(1−α)K−ρ)−1ρdisplaystyle Q=bleft(alpha L^-rho +(1-alpha )K^-rho right)^-frac 1rho

I valori dei parametri sono:

• b = 3;


• α = 0.6.

Nella prima funzione (Figura 1) ρ è posto uguale a -0.5; nella seconda (Figura 2) è invece uguale a 0.5. Le elasticità di sostituzione sono dunque nelle due funzioni uguali, rispettivamente, a 2 e 2/3.

L'intersezione delle funzioni con il piano (Q = 50) permette di osservare la curvatura degli isoquanti associati a quel livello di produzione nei due casi.

Come può notarsi gli isoquanti nel primo caso hanno una forma più "liscia". Questo indica una maggiore sostituibilità tra i due fattori. Nel primo caso, si assume cioè che una diminuzione dei lavoratori impiegati sia facilmente rimpiazzabile con un aumento delle macchine, cioè del capitale fisico, e viceversa.

Cobb-Douglas come caso particolare della CES[modifica | modifica wikitesto]

La funzione di produzione Cobb-Douglas, che ha elasticità di sostituzione costante e unitaria, può essere considerata un caso particolare della CES.

Infatti, nonostante la funzione di produzione CES sia indefinita nel caso in cui ρ = 0, è possibile dimostrare che questa tende ad una Cobb-Douglas per ρ che tende a zero.

Trasformando la funzione in logaritmi otteniamo infatti:

log⁡Qb=−log⁡(∑i=1nαixi−ρ)ρdisplaystyle log frac Qb=-frac log left(sum _i=1^nalpha _ix_i^-rho right)rho

Applicando la regola di L'Hopital si ha:

limρ→0log⁡Qb=limρ→0−dlog⁡(∑i=1nαixi−ρ)/dρdρ/dρ=∑i=1nαilog⁡xi=log⁡(∏i=1nxiαi)displaystyle lim _rho rightarrow 0log frac Qb=lim _rho rightarrow 0-frac dlog left(sum _i=1^nalpha _ix_i^-rho right)/drho drho /drho =sum _i=1^nalpha _ilog x_i=log left(prod _i=1^nx_i^alpha _iright)

da cui:

limρ→0Q=b(∏i=1nxiαi)displaystyle lim _rho rightarrow 0Q=bleft(prod _i=1^nx_i^alpha _iright)

Note[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

• Arrow, K.J.; Chenery, H.B.; Minhas, B.S. & Solow, R. "Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency", The Review of Economics and Statistics, 1961, Vol. 43, n. 3, August, pp. 225–250 - l'articolo in cui venne originariamente proposta la funzione.


• Chiang, A. C. Introduzione all'Economia Matematica, Bollati Boringhieri, Torino, 2002


• R. Guarini & F. Tassinari, Statistica economica, Il Mulino, Bologna, 1990.


• Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; & Green, Jerry (1995). Microeconomic Theory. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1
  

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

• Funzione di produzione


• Funzione di produzione Cobb-Douglas


• Funzione di utilità CES