Als CES-Funktion (kurz für englisch constant elasticity of substitution – „konstante Substitutionselastizität“) bezeichnet man in der Volkswirtschaftslehre eine Klasse von Funktionen, die sich dadurch auszeichnen, dass sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches dieselbe Substitutionselastizität aufweisen. Diese Eigenschaft ist in einer Vielzahl von ökonomischen Anwendungen – sei es im mikro- oder im makroökonomischen Bereich – vorteilhaft. Für bestimmte Parameterkonstellationen gehen aus der allgemeinen CES-Funktion überdies spezielle Funktionsklassen hervor, die ebenfalls weitläufig Gebrauch finden.

In der wissenschaftlichen Praxis finden CES-Funktionen unter anderem als Nachfragefunktionen (CES-Nachfragefunktion), Nutzenfunktionen (CES-Nutzenfunktion) und Produktionsfunktion (CES-Produktionsfunktion) Verwendung.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dabei ist (aus noch zu erläuternden Gründen) γdisplaystyle gamma der Homogenitätsgrad. Fast immer setzt man β=1displaystyle beta =1 und in der Regel auch γ=1displaystyle gamma =1.

Unterschiedliche Verwendungszwecke

Nutzt man die Funktion als Produktionsfunktion, bezeichnet man sie regelmäßig mit ydisplaystyle y (statt zdisplaystyle z), um auszudrücken, dass sie die produzierte Menge eines Gutes anzeigt. Die xidisplaystyle x_i stehen dann für die Menge des eingesetzten Inputfaktors idisplaystyle i, wobei es eben ndisplaystyle n Inputfaktoren gibt. Häufig verwendet wird so beispielsweise die Zwei-Faktoren-CES-Produktionsfunktion y=[α1K−ρ+α2L−ρ]−1/ρdisplaystyle y=left[alpha _1K^-rho +alpha _2L^-rho right]^-1/rho (bisweilen auch mit der Vorgabe α1+α2=1displaystyle alpha _1+alpha _2=1^[2]), wobei Kdisplaystyle K für den Kapital- und Ldisplaystyle L für den Arbeitseinsatz steht; in einer von Robert Solow im Feld der Wachstumstheorie eingeführten Version ist y=(αKρ+Lρ)1/ρdisplaystyle y=(alpha K^rho +L^rho )^1/rho ^[3].

Bei der Verwendung als Nutzenfunktion (in der Regel udisplaystyle u) bezeichnet xidisplaystyle x_i die Menge des konsumierten Gutes idisplaystyle i.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es lässt sich zeigen, dass die CES-Funktion im definierten Sinne homogen vom Grade γdisplaystyle gamma ist.^[4] Weiterhin ist sie für ρ≤−1displaystyle rho leq -1 quasikonvex^[5], für ρ≥−1displaystyle rho geq -1 quasikonkav. Für 0<γ≤1displaystyle 0<gamma leq 1 und zugleich ρ≥−1displaystyle rho geq -1 ist sie überdies konkav und für 0<γ<1displaystyle 0<gamma <1, ρ>−1displaystyle rho >-1 sogar strikt konkav.

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es kann gezeigt werden, dass die CES-Funktion für ρ→0displaystyle rho rightarrow 0 in eine Funktion vom Cobb-Douglas-Typ (mit Substitutionselastizität σ=1displaystyle sigma =1) und für ρ→∞displaystyle rho rightarrow infty in eine Leontief-Funktion (σ=0displaystyle sigma =0) übergeht.^[6]

Spezifische Parameterkonstellationen erlauben weitere Präzisierungen. So ist beispielsweise z=[α1x1−ρ+⋯+αnxn−ρ]−1/ρdisplaystyle z=left[alpha _1x_1^-rho +dotsb +alpha _nx_n^-rho right]^-1/rho mit α1+⋯+αn=1displaystyle alpha _1+dotsb +alpha _n=1 vom CES-Typ mit Substitutionselastizität σ=1/(1+ρ)displaystyle sigma =1/(1+rho ). Für ρ→0displaystyle rho rightarrow 0 konvergiert σ→1displaystyle sigma rightarrow 1 und zdisplaystyle z reduziert sich zur linear-homogenen Cobb-Douglas-Funktion z=x1α1⋯xnαndisplaystyle z=x_1^alpha _1dotsm x_n^alpha _n. Für ρ→∞displaystyle rho rightarrow infty folgt wiederum σ→0displaystyle sigma rightarrow 0 und es ergibt sich im Grenzwert die Leontief-Funktion z=minx1,…,xndisplaystyle z=minx_1,dotsc ,x_n.^[7]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• 
  Kenneth Arrow, H. B. Chenery, B. S. Minhas und Robert Solow: Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency. In: Review of Economics and Statistics. 43, Nr. 3, 1961, S. 225–250.


• Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.


• Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1.


• Carl P. Simon und Lawrence Blume: Mathematics for Economists. W. W. Norton, New York und London 1994, ISBN 0-393-95733-0.


• Knut Sydsæter, Arne Strøm und Peter Berck: Economists’ mathematical manual. 4. Aufl. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 978-3-540-26088-2 (auch als E-Book: doi:10.1007/3-540-28518-0).


• Knut Sydsæter u. a.: Further mathematics for economic analysis. 2. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2008, ISBN 978-0-273-71328-9.


• 
  Hal Varian: Microeconomic Analysis. W. W. Norton, New York und London 1992, ISBN 0-393-95735-7.


• Susanne Wied-Nebbeling und Helmut Schott: Grundlagen der Mikroökonomik. Springer, Heidelberg u. a. 2007, ISBN 978-3-540-73868-8. [S. 127–131]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. 
   ↑ Die hiesige Definition folgt Sydsæter u. a. 2008, S. 72 und Simon/Blume 1994, S. 275. Bei ihr handelt es sich um eine generalisierte Form; vielfach werden auch bereits bestimmte Eigenschaften vorausgesetzt. So beschränkt sich der weit überwiegende Teil der Literatur auf den Fall mit β=1displaystyle beta =1 (Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166; Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97) und üblicherweise ist auch γ=1displaystyle gamma =1 (Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97); bisweilen wird überdies nur der Fall mit αi=1displaystyle alpha _i=1 betrachtet (Jehle/Reny 2011, S. 130). Regelmäßig wird in der Funktion auch ρdisplaystyle rho statt −ρdisplaystyle -rho verwendet (Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97; wie hier Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166 und Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128); daraus ergibt sich jedoch lediglich ein interpretatorischer Unterschied infolge abweichender Elastizitätsdefinitionen.
   


2. 
   ↑ Vgl. beispielsweise Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128.
   


3. 
   ↑ Robert M. Solow: A Contribution to the Theory of Economic Growth. In: The Quarterly Journal of Economics. 70, Nr. 1, 1956, S. 65–94 ([1] (PDF; 2,2 MB); JSTOR 1884513).
   


4. 
   ↑ Zu dieser und den folgenden Eigenschaften vgl. Sydsæter u. a. 2008, S. 72 (dort auch mit Beweisen) und Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166.
   


5. 
   ↑ Diese Eigenschaft ist freilich nicht von nennenswerter praktischer Relevanz; im Fall ρ<−1displaystyle rho <-1 würde die CES-Technologie dann nämlich konkave Isoquanten implizieren, was wenig plausibel erscheint.
   


6. 
   ↑ Vgl. beispielsweise Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128 ff. für den Fall n=2displaystyle n=2 und α1+α2=1displaystyle alpha _1+alpha _2=1.
   


7. 
   ↑ Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 131.